Utilizando la estimación de la probabilidad máxima (ML)

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Por Roberto Pedace

Las funciones Probit y Logit no son lineales en parámetros, por lo que los mínimos cuadrados ordinarios (OLS) no pueden ser usados para estimar las betas. En su lugar, usted tiene que usar una técnica conocida como estimación de máxima probabilidad (ML).

El objetivo de la estimación de máxima verosimilitud (ML) es elegir valores para los parámetros estimados (betas) que maximicen la probabilidad de observar los valores de Y en la muestra con los valores de X dados. Esta probabilidad se resume en lo que se llama la función de probabilidad.

Construyendo la función de verosimilitud

La función de verosimilitud, que calcula la probabilidad conjunta de observar todos los valores de la variable dependiente, supone que cada observación se extrae aleatoria e independientemente de la población. Si los valores de la variable dependiente son aleatorios e independientes, entonces puede encontrar la probabilidad conjunta de observar todos los valores simultáneamente multiplicando las funciones de densidad individuales.

Asumiendo que cada valor observado de la variable dependiente es aleatorio e independiente, la función de probabilidad es

donde pi es el operador del producto (multiplicación). Puedes reescribir esta ecuación como

donde P representa la probabilidad de que Y = 1, (1 – P) es la probabilidad de que Y = 0, y F puede representar la FDA normal o logística estándar; en los modelos probit y logit, estas son las distribuciones de probabilidad asumidas.

La transformación de troncos y las estimaciones de LD

Para hacer la función de verosimilitud más manejable, la optimización se realiza usando una transformación de registro natural de la función de verosimilitud. Se puede justificar matemáticamente porque las transformaciones del tronco son un tipo de transformación monótona. En otras palabras, para cualquier función f(X) y transformación de logs

Por lo tanto, la solución de optimización para la función de verosimilitud es la misma que la función de logaritmo de verosimilitud.

Desde la función de verosimilitud L, usando una transformación de log natural, puede escribir la función de verosimilitud de log estimada como

donde F denota la FCD normal estándar (para el modelo probit) o la FCD logística (para el modelo logit). Encontrar los valores óptimos para la

requiere resolver las siguientes condiciones de primer orden

La estimación de ML es computacionalmente intensa porque las condiciones de primer orden para la maximización no tienen una representación algebraica simple. El software econométrico se basa en la optimización numérica mediante la búsqueda de los valores de la variable

que alcanzan el mayor valor posible de la función de log likelihood, lo que significa que se requiere un proceso de iteración (una secuencia repetida de soluciones que mejoran gradualmente) para estimar los coeficientes.

El software econométrico busca (utiliza un proceso iterativo) hasta que encuentra los valores de todas las variables

que maximicen simultáneamente la probabilidad de obtener los valores observados de la variable dependiente.

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