Utilización de la distribución Z para buscar la desviación estándar en un muestreo estadístico

  1. Educación
  2. Matemáticas
  3. Estadísticas
  4. Utilización de la distribución Z para buscar la desviación estándar en un muestreo estadístico

Libro Relacionado

Por Deborah J. Rumsey

Un miembro muy especial de la familia de distribución normal se denomina distribución normal estándar o distribución Z. En estadística, la distribución Z se utiliza para ayudar a encontrar probabilidades y percentiles para las distribuciones normales regulares (X). Sirve como el estándar por el cual se miden todas las demás distribuciones normales.

La distribución Z es una distribución normal con media cero y desviación estándar 1; su gráfico se muestra aquí. Casi todos (alrededor del 99,7%) de sus valores se sitúan entre -3 y +3 según la Regla Empírica. Los valores de la distribución Z se denominan valores z, puntuaciones z o puntuaciones estándar. Un valor z representa el número de desviaciones estándar que un valor determinado se encuentra por encima o por debajo de la media. Por ejemplo, z = 1 en la distribución Z representa un valor que es 1 desviación estándar por encima de la media. Del mismo modo, z = -1 representa un valor que es una desviación estándar por debajo de la media (indicado por el signo menos en el valor de z). Y un valor de z de 0 es -usted lo adivinó- justo en la media. Todos los valores de z se entienden universalmente.

Tres distribuciones normales, con medias y desviaciones estándar de a) 90 y 30; b) 120 y 30; y c) 90 y 10, respectivamente.

La figura anterior muestra algunos ejemplos de distribuciones normales. Para comparar y contrastar las distribuciones mostradas aquí, primero verá que son todas simétricas con la forma de la campana de la firma. Los ejemplos (a) y (b) tienen la misma desviación estándar, pero sus medias son diferentes; la media en el Ejemplo (b) se encuentra a 30 unidades a la derecha de la media en el Ejemplo (a) porque su media es de 120 comparado con 90. Los ejemplos (a) y (c) tienen la misma media (90), pero el Ejemplo (a) tiene más variabilidad que el Ejemplo (c) debido a su mayor desviación estándar (30 comparado con 10). Debido a la mayor variabilidad, la mayoría de los valores en el Ejemplo (a) se encuentran entre 0 y 180 (aproximadamente), mientras que la mayoría de los valores en el Ejemplo (c) se encuentran sólo entre 60 y 120.

Por último, los ejemplos b) y c) tienen medias diferentes y desviaciones estándar totalmente diferentes; el ejemplo b) tiene una media más alta que desplaza el gráfico hacia la derecha, y el ejemplo c) tiene una desviación estándar más pequeña; sus valores de datos son los más concentrados en torno a la media.

Tenga en cuenta que la media y la desviación estándar son importantes para interpretar correctamente los valores situados en una determinada distribución normal. Por ejemplo, se puede comparar dónde cae el valor 120 en cada una de las distribuciones normales de la figura anterior. En el ejemplo (a), el valor 120 es una desviación estándar por encima de la media (debido a que la desviación estándar es 30, se obtiene 90 + 1[30] = 120). Así que en esta primera distribución, el valor 120 es el valor superior para el rango donde se encuentra el 68% medio de los datos, de acuerdo con la Regla Empírica.

En el ejemplo (b), el valor 120 se encuentra directamente en la media, donde los valores están más concentrados. En el Ejemplo (c), el valor 120 está muy por encima de la franja derecha, 3 desviaciones estándar por encima de la media (debido a que la desviación estándar esta vez es 10, se obtiene 90 + 3[10] = 120). En el Ejemplo (c), es muy improbable que ocurran valores superiores a 120 porque están fuera del rango en el que debería estar el 99,7% medio de los valores, de acuerdo con la Regla Empírica.

Ahora, en base a la figura anterior y a la discusión sobre dónde se encuentra el valor 120 en cada distribución normal, puede calcular los valores z. En el ejemplo (a), el valor 120 se sitúa una desviación estándar por encima de la media, por lo que su valor z es 1. En el ejemplo (b), el valor 120 es igual a la media, por lo que su valor z es 0. El ejemplo (c) muestra que 120 es 3 desviaciones estándar por encima de la media, por lo que su valor z es 3.