Traducir la ecuación de Schrödinger a tres dimensiones

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Por Steven Holzner

En física cuántica, se puede dividir la ecuación tridimensional de Schrödinger en tres ecuaciones unidimensionales de Schrödinger para facilitar la resolución de problemas en 3D. En una dimensión, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (que permite encontrar una función de onda) se ve así:

Y puedes generalizar eso en tres dimensiones como ésta:

Usando el operador laplaciano, usted puede refundir esto en una forma más compacta. Así es como se ve el laplaciano:

Y aquí está la ecuación de Schrödinger en 3D usando el Laplaciano:

Para resolver esta ecuación, cuando el potencial no varía con el tiempo, rompa la parte dependiente del tiempo de la función de onda:

Aquí,

es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y E es la energía:

Hasta ahora, todo bien. Pero ahora te has topado con una pared – la expresión

es en general muy difícil de tratar, por lo que la ecuación actual es en general muy difícil de resolver.

Entonces, ¿qué debe hacer? Bien, puedes enfocarte en el caso en el cual la ecuación es separable – es decir, donde puedes separar la dependencia de x, y, y, y z y encontrar la solución en cada dimensión por separado. En otras palabras, en casos separables, el potencial, V(x, y, z), es en realidad la suma de los potenciales x, y, y, z:

V(x, y, z) = Vx(x) + Vy(y) + Vz(z)

Ahora puedes romper el Hamiltonian en

en tres Hamilitonianos, Hx, Hy y Hz:

dónde

Cuando se divide el Hamiltoniano como en

también puede dividir la función de onda que resuelve esa ecuación. En particular, puede dividir la función de onda en tres partes, una para x, y, y, y z:

Donde X(x), Y(y), y Z(z) son funciones de las coordenadas x, y, y, z y no deben confundirse con los operadores de posición. Esta separación de la función de onda en tres partes va a hacer la vida considerablemente más fácil, porque ahora se puede dividir el Hamiltonian en tres operadores separados juntos:

E = Ex + Ey + Ez

Así que ahora tienes tres ecuaciones de Schrödinger independientes para las tres dimensiones:

Este sistema de ecuaciones diferenciales independientes parece mucho más fácil de resolver que

En esencia, has roto la ecuación tridimensional de Schrödinger en tres ecuaciones unidimensionales de Schrödinger. Esto hace que la resolución de problemas en 3D sea fácil de tratar.

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