Tarifas Relacionadas: El Problema de la Expansión del Globo

Supongamos que está llenando su piscina y sabe lo rápido que sale el agua de su manguera, y quiere calcular la velocidad a la que sube el nivel del agua en la piscina. Usted conoce una tasa (qué tan rápido se está vertiendo el agua) y desea determinar otra tasa (qué tan rápido está subiendo el nivel del agua). Estas tarifas se denominan tarifas relacionadas porque una depende de la otra: cuanto más rápido se vierta el agua, más rápido subirá el nivel del agua. En un problema típico relacionado con las tasas, la tasa o tasas que usted recibe no cambian, pero la tasa que usted tiene que averiguar está cambiando con el tiempo. Se debe determinar esta tasa en un momento determinado.

Por ejemplo, digamos que usted está inflando un globo a una velocidad de 300 pulgadas cúbicas por minuto. Cuando el radio del globo es de 3 pulgadas, ¿qué tan rápido se incrementa el radio?

  • Dibuja un diagrama etiquetando el diagrama con cualquier medida que no cambie (no hay ninguna en este problema inusualmente simple) y asegúrate de asignar una variable a cualquier cosa en el problema que esté cambiando (a menos, por supuesto, que sea irrelevante para el problema) El radio en la figura está etiquetado con la variable r. El radio necesita una variable porque, a medida que el globo está siendo inflado, el radio está cambiando. En la figura, 3 está entre paréntesis para enfatizar que el número 3 no es una medida invariable. El problema le pide que determine algo cuando el radio es de 3 pulgadas, pero recuerde, el radio está cambiando constantemente. El volumen del globo también está cambiando, así que necesitas una variable para el volumen, V. Podrías poner una V en tu diagrama para indicar el volumen cambiante, pero no hay una manera fácil de etiquetar parte del globo con una V como si pudieras mostrar el radio con una r.
  • Enumere todas las tasas dadas y la tasa que se le pide que determine como derivados con respecto al tiempo, usted está bombeando el globo a 300 pulgadas cúbicas por minuto. Eso es una tasa – es un cambio en el volumen (pulgadas cúbicas) por cambio en el tiempo (minutos). Así que, tienes que averiguar cuán rápido está cambiando el radio, así que
  • Escribe la fórmula que conecta las variables en el problema, V y r. Aquí está la fórmula para el volumen de una esfera:
  • Diferencia tu fórmula con respecto al tiempo, t. Esto funciona como diferenciación implícita porque estás diferenciando con respecto a t, pero la fórmula está basada en otra cosa, a saber, r.
  • Sustituye los valores conocidos de la tasa y las variables en la ecuación del Paso 4, y luego resuelve lo que se te pida determinar. asegúrate de diferenciar (Paso 4) antes de conectar la información dada a las incógnitas (Paso 5). Piensa en todos los globos que has estallado desde tu infancia. Ahora finalmente tienes la respuesta a la pregunta que te ha estado molestando todos estos años, por cierto, si conectas 5 en r, en lugar de 3, obtienes una respuesta de alrededor de 0.95 pulgadas por minuto. Este hecho debe estar de acuerdo con su experiencia de inflado de globos – cuanto más grande es el globo, más lento crece.