Sustitución por expresiones de la forma f(x) Multiplicado por h(g(x))

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Por Mark Zegarelli

Cuando g'(x) = f(x), puede utilizar la sustitución u = g(x) para integrar expresiones de la forma f(x) multiplicadas por h(g(x)), siempre que h sea una función que ya sepa cómo integrar.

La sustitución de variables ayuda a llenar los vacíos dejados por la ausencia de una regla de producto y una regla de cadena para la integración.

He aquí una integral de aspecto peludo que realmente responde bien a la sustitución:

La idea clave aquí es que el numerador de esta fracción es la derivada de la función interna en el denominador. Mira cómo se desarrolla esto en esta sustitución:

  1. Declare u igual a la función interna en el denominador y haga la sustitución: Aquí está la sustitución:
  2. Diferencial du = (2x + 1) dx:
  3. La segunda parte de la sustitución ahora se vuelve clara: Observa cómo esta sustitución depende del hecho de que el numerador es la derivada de la función interna en el denominador. (Usted puede pensar que esto es una gran coincidencia, pero las coincidencias como estas suceden todo el tiempo en los exámenes!)
  4. La integración es ahora bastante sencilla: se da un paso más para eliminar la fracción antes de la integración:
  5. Sustituir espalda x2 + x – 5 por u:

La comprobación de la respuesta mediante la diferenciación con la Regla de la Cadena revela cómo se estableció este problema en primer lugar:

He aquí otro ejemplo en el que se realiza una sustitución de variables:

Note que el derivado de x4 – 1 es x3, apagado por un factor constante. Así que aquí está la declaración, seguida de la diferenciación:

Ahora puedes hacer ambas sustituciones a la vez:

En este punto, usted puede resolver la integral de manera sencilla.

De manera similar, he aquí otro ejemplo:

A primera vista, esta integral parece simplemente horrible. Pero en una inspección posterior, observe que el derivado de cot x es -csc2x, por lo que parece ser otro buen candidato:

Esto da como resultado la siguiente sustitución:

Una vez más, esta es otra integral que puedes resolver.