Resolviendo la función de onda de r pequeños y r grandes usando la ecuación de Schrödinger

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Por Steven Holzner

Su instructor de física cuántica puede pedirle que resuelva la función de onda para una partícula de masa m maquillada en un átomo de hidrógeno. Para hacer esto, puedes empezar usando una ecuación de Schrödinger modificada que resuelve para r grandes y pequeños:

Debido a que la ecuación de Schrödinger contiene términos que involucran R o r pero no ambos, la forma de esta ecuación indica que es una ecuación diferencial separable. Y eso significa que usted puede buscar una solución de la siguiente forma:

Sustituyendo la ecuación anterior por la anterior, se obtiene lo siguiente:

Y dividiendo esta ecuación entre

te da

Esta ecuación tiene términos que dependen de

pero no ambas cosas. Esto significa que puedes separar esta ecuación en dos ecuaciones, así (donde la energía total, E, es igual a ER + Er):

Multiplicando

te da

Y multiplicando

te da

Ahora puedes resolver para r, tanto pequeños como grandes.

Resolución de problemas de pequeñas r

La ecuación de Schrödinger para

es la función de onda para una partícula de masa m (en la práctica,

está muy cerca de

así que la energía, Er, está bastante cerca de la energía del electrón). Aquí está la ecuación de Schrödinger para

Puedes romper la solución,

en una parte radial y una parte angular:

La parte angular de

se compone de armónicos esféricos,

así que esa parte está bien. Ahora tienes que resolver para la parte radial, Rnl(r). Esto es en lo que se convierte la ecuación de Schrödinger para la parte radial:

dónde

Para resolver esta ecuación, echa un vistazo a dos casos – donde r es muy pequeño y donde r es muy grande. Ponerlos juntos le da la forma aproximada de la solución.

Solución para grandes r

Para r muy grandes,

Debido a que el electrón está en un estado ligado en el átomo de hidrógeno, E

Tenga en cuenta que

se bifurca al ir r al infinito debido a la

por lo que B debe ser igual a cero. Esto significa que