Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales utilizando la sustitución

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Por Mary Jane Sterling

En un curso de matemáticas finitas, puedes esperar encontrarte con muchos problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales. Cuando trabajas con un sistema de tres o más ecuaciones lineales, encontrarás que usar la sustitución para resolver el sistema implica una variable en términos de otra en términos de otra, y así sucesivamente.

Lo principal que hay que recordar es la variable objetivo. Usted quiere sustituir las equivalencias de una de las variables en todas las demás – escoja una variable y manténgala.

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones, ¿qué variable elegirías?

Ninguna de ellas parece particularmente atractiva al principio, pero la variable x tiene un coeficiente de 1 en la segunda ecuación, así que toma eso como tu elección.

Primero, resolviendo x en la segunda ecuación, restas 3y de cada lado y sumas 5z a cada lado, dándote x = 14 – 3y + 5z. Luego sustituye esa expresión en la primera y tercera ecuaciones.

Sustituyendo en la primera ecuación: 3(14 – 3y + 5z) – 2y + 4z = 1. Esto simplifica primero a -11y – 19z = -41, que se convierte en 11y – 19z = 41.

En la tercera ecuación, 4(14 – 3y + 5z) – 4y + 3z = 1 se simplifica a 16y – 23z = 55.

Así que el nuevo sistema de ecuaciones, en sólo dos variables, es

Las opciones de variables a resolver no son grandes, pero el número más pequeño es 11, así que la primera ecuación es la opción más fácil. Resolviendo para y en la primera ecuación, obtienes

Pon eso en la segunda ecuación y resuelve para z siguiendo estos pasos:

  1. Sustituye a Y:
  2. Multiplica cada término por 11 para deshacerte de la fracción:16(19z + 41) – 253z = 605
  3. Simplificar: 304z + 656 – 253z = 605, que se convierte en 51z = -51
  4. Divide cada lado entre 51:z = -1

Ahora resuelve para y poniendo z = -1 en

Usted recibe

Y ahora, armado con y = 2 y z = -1, puedes poner esos valores en una de las ecuaciones originales para resolver x. Una buena elección sería la segunda ecuación original, x + 3y – 5z = 14, porque el coeficiente de x es 1. Usando esa ecuación, obtienes x + 3(2) – 5(-1) = 14, lo cual simplifica a x = 3. La solución del sistema como las coordenadas de un punto es (3, 2, -1).

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