Resolución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes: La regla de Cramer

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Si tu profesor de pre-cálculo te pide que resuelvas un sistema de ecuaciones, puedes impresionarlo usando la regla de Cramer en lugar de usar una calculadora gráfica.

La regla de Cramer dice que si el determinante de una matriz de coeficiente |A| no es 0, entonces las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales se pueden encontrar de la siguiente manera:

Si la matriz que describe el sistema de ecuaciones se ve así:

Entonces

y así sucesivamente hasta que haya resuelto todas las variables. En otras palabras, los componentes de la solución se obtienen fácilmente calculando las proporciones apropiadas de los determinantes de una familia de matrices. Nótese que el denominador de estos componentes es el determinante de la matriz de coeficientes.

Esta regla es útil cuando los sistemas son muy pequeños o cuando se puede utilizar una calculadora gráfica para determinar los determinantes, ya que le ayuda a encontrar las soluciones con un mínimo de lugares para mezclarse. Para utilizarlo, simplemente se encuentra el determinante de la matriz de coeficientes.

El determinante de una matriz de 2×2 como ésta:

se define como ad – bc. El determinante de una matriz 3-x-3 es un poco más complicado. Si la matriz es

entonces usted puede encontrar el determinante siguiendo estos pasos:

  1. Reescriba las dos primeras columnas inmediatamente después de la tercera columna.
  2. Dibuje tres líneas diagonales desde arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha y tres líneas diagonales desde abajo a la izquierda hacia arriba a la derecha, como se muestra en esta figura. Cómo encontrar el determinante de una matriz 3-x-3.
  3. Multiplica las tres diagonales de izquierda a derecha y luego añade estos productos. Multiplica los otros tres de izquierda a derecha y añade estos productos. El determinante de la matriz 3-x-3 es:

Para encontrar el determinante de esta matriz 3×3:

se utiliza un proceso conocido como diagonales, que se puede ver en esta figura.

Cómo encontrar el determinante de una matriz específica 3-x-3.

Este ejemplo proporciona un atajo para encontrar el determinante de una matriz 3-x-3. Para matrices de 4 x 4 y mayores, los métodos utilizados aquí no son válidos.

Después de encontrar el determinante de la matriz de coeficiente (ya sea a mano o con un dispositivo tecnológico), reemplace la primera columna de la matriz de coeficiente con la matriz de respuesta del otro lado del signo igual y encuentre el determinante de esa nueva matriz. Luego reemplace la segunda columna de la matriz de coeficientes con la matriz de respuestas y encuentre el determinante de esa matriz. Continúe este proceso hasta que haya reemplazado cada columna y encontrado cada nuevo determinante. Los valores de las variables respectivas son iguales al determinante de la nueva matriz (cuando se reemplaza la columna respectiva) dividido por el determinante de la matriz de coeficiente.

No se puede usar la regla de Cramer cuando la matriz no es cuadrada o cuando el determinante de la matriz de coeficiente es 0, porque no se puede dividir por 0. La regla de Cramer es más útil para un sistema de ecuaciones lineales de 2x-2 o superior.

Para resolver un sistema de ecuaciones 3-x-3, tales como

usando la regla de Cramer, se configuran las variables de la siguiente manera:

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