Memorice 10 pruebas útiles para la convergencia/divergencia de la serie Infinite

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Por Mark Ryan

La mnemotécnica, 13231, le ayuda a recordar diez pruebas útiles para la convergencia o divergencia de una serie infinita. Descomponerlo le da un total de 1 + 3 + 2 + 3 + 3 + 1 = 10 pruebas.

Primera 1: La prueba de divergencia del enésimo término

Para cualquier serie, si el enésimo término no converge a cero, la serie diverge.

Segundo 1: El enésimo criterio de convergencia para las series alternas

El nombre real de esta prueba es la prueba de serie alterna. Sin embargo, se le conoce aquí como la prueba de convergencia del enésimo término por dos buenas razones: porque tiene mucho en común con la prueba de divergencia del enésimo término, y porque estas dos pruebas son buenas sujecciones para las otras ocho pruebas.

Una serie alterna convergerá si 1) su enésimo término converge a 0, y 2) cada término es menor o igual que el término anterior (ignorando los signos negativos).

Nótese el siguiente buen paralelo entre las dos pruebas del enésimo trimestre: Con la prueba de divergencia del enésimo término, si el enésimo término no converge a cero, entonces la serie no debe converger, pero no es cierto que si el enésimo término converge a cero, entonces la serie debe converger. Con la prueba de la serie alterna del término n, es al revés (más o menos). Si la prueba tiene éxito, entonces la serie debe converger, pero no es cierto que si la prueba falla, entonces la serie debe fallar en la convergencia.

Primero 3: Las pruebas para las series geométricas, p y telescópicas

Este “3” le ayuda a recordar los tres tipos de series que tienen nombres: series geométricas (que convergen si |r| 1), y series telescópicas.

Segundo 3: Las pruebas de comparación directa, límite e integral

La prueba de comparación directa, la prueba de comparación de límites y la prueba de comparación integral funcionan de la misma manera. Compara una serie determinada con una serie de referencia conocida. Si el punto de referencia converge, también convergen las series dadas, y lo mismo ocurre con las divergencias.

El 2 en el medio: La proporción y las pruebas de raíz

La prueba de relación y la prueba de raíz forman un par coherente porque para ambas pruebas, si el límite es menor que 1, la serie converge; si el límite es mayor que 1, la serie diverge; y si el límite es igual a 1, la prueba no le dice nada.