Expresar funciones como Power Series utilizando la serie Maclaurin

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Por Mark Zegarelli

La serie Maclaurin es una plantilla que le permite expresar muchas otras funciones como series de potencia. Es la fuente de fórmulas para expresar tanto el pecado x como el cos x como una serie infinita.

Sin más preámbulos, aquí está:

La notación f(n) significa “la enésima derivada de f.” Esto se hace más claro en la versión ampliada de la serie Maclaurin:

La serie Maclaurin le permite expresar funciones como series de potencia siguiendo estos pasos:

  1. Encuentra los primeros derivados de la función hasta que reconozcas un patrón.
  2. Sustituya x por 0 en cada uno de estos derivados.
  3. Enchufe estos valores, término por término, en la fórmula de la serie Maclaurin.
  4. Si es posible, exprese la serie en notación sigma.

Por ejemplo, supongamos que desea encontrar la serie Maclaurin por ejemplo.

  1. Encuentra los primeros derivados de ex hasta que reconozcas un patrón:
  2. Sustituya x por 0 en cada uno de estos derivados.
  3. Enchufe estos valores, término por término, en la fórmula de la serie Maclaurin:
  4. Si es posible, exprese la serie en notación sigma:

Para verificar esta fórmula, utilícela para estimar e0 y e1 sustituyendo 0 y 1, respectivamente, en los primeros seis términos:

Este ejercicio clava e0 exactamente, y se aproxima e1 con dos decimales. La serie Maclaurin, por ejemplo, le permite calcular esta función para cualquier valor de x con cualquier número de decimales.

Sin embargo, la serie Maclaurin para ex funciona mejor cuando x está cerca de 0. A medida que x se aleja de 0, es necesario calcular más términos para obtener el mismo nivel de precisión.

Pero ahora, puedes empezar a ver por qué la serie Maclaurin tiende a proporcionar mejores aproximaciones para valores cercanos a 0: El número 0 está “cableado” en la fórmula como f(0), f'(0), f”(0), y así sucesivamente.

x utilizando la serie Maclaurin”/>Aproximando sin x utilizando la serie Maclaurin.

La figura ilustra este punto. El primer gráfico muestra sin x aproximado utilizando los dos primeros términos de la serie Maclaurin, es decir, como polinomio de tercer grado.

El segundo gráfico muestra una aproximación de sin x con cuatro términos.

Como puede ver, cada aproximación sucesiva mejora sobre la anterior. Además, cada ecuación tiende a proporcionar su mejor aproximación cuando x está cerca de 0.

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