Econometría y la función de densidad de probabilidad (PDF)

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Por Roberto Pedace

Una función de densidad de probabilidad (PDF) muestra las probabilidades de una variable aleatoria para todos sus valores posibles. Las probabilidades asociadas con valores específicos (o eventos) de una variable aleatoria deben adherirse a las propiedades

donde Xj representa los posibles valores (resultados) de la variable aleatoria X. En otras palabras, las probabilidades de que ocurra cualquier evento aleatorio deben ser desde imposibles (probabilidad de 0) hasta ciertas (probabilidad de 1), y la suma de las probabilidades para todos los eventos debe ser 1 (o 100 por ciento).

El PDF para variables aleatorias discretas

Si está observando una variable aleatoria discreta, el PDF se puede describir en una tabla o gráfico. Para construir una tabla, se configura una columna con los posibles valores de la variable aleatoria y una columna con la probabilidad de que ocurran.

En una representación gráfica del PDF (un gráfico de barras), usted colocaría los posibles valores de la variable aleatoria en el eje horizontal, y la altura de las barras verticales en cada valor muestra la probabilidad de que ocurran.

Suponga que usted realiza un experimento que consiste en lanzar tres monedas al mismo tiempo. Usted está interesado en el número de veces que aterrizan cabezas hacia arriba, así que llame al número de cabezas observadas con la variable aleatoria X. La tabla enumera los posibles resultados de este experimento y los valores de X generados a partir del proceso.

Resultados del lanzamiento de tres monedas
ResultadoPrimera MonedaSegunda MonedaTercera MonedaNúmero de Cabezas, X1TTTT02TTHTH13THT14HTTTT15THHH26HHHT27HTH28HHHH3De

los ocho resultados posibles, usted obtiene 0 cabezas en un resultado, 1 cabeza en tres resultados, 2 cabezas en tres resultados y 3 cabezas en un resultado. Puede resumir la información con una representación tabular o gráfica del PDF para X.

Se ven 8 resultados totales y cuatro valores posibles para X: 0, 1, 2 y 3. Esta información permite calcular la probabilidad asociada a cada valor de X. Por ejemplo, X = 0 ocurre sólo una vez, así que f(X = 0) = 1/8 = 0,125. La siguiente tabla muestra las probabilidades para los otros valores de X y un formulario tabular del PDF.

Función de Probabilidad de Densidad, Experimento de Lanzamiento de 3 monedas
Xf(X)01/8 = 0.12513/8 = 0.37523/8 = 0.37531/8 = 0.125 Observe

que las probabilidades en la columna de la derecha suman 1. Las probabilidades totales para cualquier experimento deben ser siempre iguales a 1.

El PDF para variables aleatorias continuas

Si está observando una variable aleatoria continua, el PDF se puede describir en una función o gráfico. La función muestra cómo se comporta la variable aleatoria en cualquier rango posible de valores. En una representación gráfica del PDF, los posibles valores de la variable aleatoria se encuentran en el eje horizontal, y una curva (sin barras ni roturas) se encuentra en algún lugar por encima del eje.

El PDF continuo más común es el de una variable aleatoria normalmente distribuida. La representación gráfica de este PDF se muestra aquí.

Independientemente de los valores de la media y la desviación estándar, la densidad total (área) bajo la curva es igual a 1. Además, alrededor del 68 por ciento de la densidad está dentro de una desviación estándar, alrededor del 95 por ciento de la densidad está dentro de dos desviaciones estándar, y alrededor del 99,7 por ciento de la densidad está dentro de tres desviaciones estándar.

Debido a que una variable aleatoria continua puede tomar infinitamente muchos valores, la probabilidad de que un valor específico ocurra es cero!

Un ejemplo puede ayudar a ilustrar este punto. Supongamos que un profesor elige al azar a uno de sus estudiantes de econometría. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga exactamente 21 años de edad? Respuesta: esencialmente cero.

La razón es que el estudiante tendría que ser seleccionado al azar en el día, hora, minuto, segundo y fracción de segundo que él o ella nació hace 21 años.

Eso sería virtualmente imposible. Sin embargo, habría alguna posibilidad de seleccionar al azar a un estudiante que tenga entre 20 y 22 años de edad.

Las probabilidades con variables aleatorias continuas se miden a intervalos. Matemáticamente, esta medida de probabilidad se expresa como

donde Xa y Xb son valores posibles que pueden ser tomados por la variable aleatoria X.

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