Econometría y la Función de Densidad Acumulada (FCD)

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Por Roberto Pedace

La función de densidad acumulativa (FCD) de una variable aleatoria X es la suma o acumulación de probabilidades hasta cierto valor. Muestra cómo la suma de las probabilidades se acerca a 1, que a veces ocurre a un ritmo constante y a veces a un ritmo cambiante.

La FDA para variables aleatorias discretas

Para una variable aleatoria discreta, la FDA es equivalente a

donde f(X) es la función de densidad de probabilidad.

Si está observando una variable aleatoria discreta, la FCD se puede describir en una tabla o gráfico. Para construir una tabla, ponga los posibles valores de su variable aleatoria en una columna, la probabilidad de que ocurran en otra columna y las sumas de las probabilidades hasta cualquier valor dado en una tercera columna.

En una representación gráfica de la FDA, se colocan los posibles valores de la variable aleatoria en el eje horizontal, y la altura de una línea horizontal en cada valor muestra la probabilidad de que ese valor se sume con las probabilidades de todos los valores menores.

Suponga que usted realiza un experimento que consiste en lanzar dos monedas al mismo tiempo. Usted está interesado en el número de veces que la moneda aterriza, así que usted designa el número de cabezas observadas como mi variable aleatoria X. La tabla ilustra los posibles resultados de este experimento y los valores de X generados a partir del proceso.

Resultados del lanzamiento de dos monedas
OutcomeFirst CoinSecond CoinNumber of Heads,

X1TT02TH13HT14HT14HH2Puede resumir la información con una tabla o gráfico de la FCD para X. La siguiente tabla muestra una forma tabular de la FCD. Recordemos que el PDF, f(X), representa la probabilidad de un evento aleatorio dado, y el CDF, F(X), es la suma de las probabilidades hasta cualquier valor aleatorio.

Por ejemplo, f(X = 1) = 2/4 = 0,50 y F(X = 1) = 1/4 + 1/2 = 3/4 = 0,75.

Tabla de función de densidad acumulativa, experimento de lanzamiento de dos monedas
Xf(X)F(X)00.250.2510.500.7520.251

La FDA para variables aleatorias continuas

Prepárate para un poco de cálculo! La FCD es una suma de probabilidades, y para una función continua, encontrar una suma significa integración. La integración es un procedimiento de cálculo que le permite encontrar densidades bajo funciones no lineales. Para una variable aleatoria continua, la FDA es

donde f(X) es la función de densidad de probabilidad.

Si está observando una variable aleatoria continua, la FCD se puede describir en una función o gráfico. La función muestra cómo se comporta la variable aleatoria en cualquier rango posible de valores.

La forma precisa de la FDA depende de la media y la varianza (el cuadrado de la desviación estándar) de su variable aleatoria. Una media más pequeña desplaza la curva hacia la izquierda, y una media más grande desplaza la curva hacia la derecha. Una variación más pequeña hace que la curva sea más pronunciada, mientras que una variación más grande hace que la curva sea más plana.

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